COM6005 Statistical Modeling · Module 3a

One-sample & Two-sample t-tests

COM6005 · Module 3a · Source: Module3a_T-test-forMean_L02_complete.pdf (35 slides)

Contents · 13 sections

🎯 本講重點 (Learning outcomes)

用 parametric test flowchart 揀啱 test：1-sample t / Z test、paired t、2-sample (independent) t、1-way ANOVA。
理解點解用 t 而唔用 Z（ $\sigma$ 未知、n 細；t 有 heavier tails，df 越大越似 Z）。
One-sample t-test：寫 $H_0/H_1$ 、計 $T=(\bar y-\mu_0)/(s/\sqrt n)$ 、查 t-table（ $df = n - 1$ ）、用 p-value 決定。
識講三個等價 decision rule（T vs ppf、cdf、p-value）同 one-sided / two-sided 嘅 rejection rule。
由 two-sided decision rule 推出 Confidence interval。
Two-sample：paired design（計差 W 再做 one-sample t）vs completely randomized design（pooled variance $s_p$ ， $df = n + m - 2$ ）。

⭐ 考試必溫 Top-5

One-sample t： $T = \dfrac{\bar y - \mu_0}{s/\sqrt n}$ ， $df = n - 1$ ；腫瘤例 $T = 2.076 > 1.833$ → reject $H_0$ （ $p = 0.0339$ ）。
查 t-table： $n = 10$ 、 $\alpha = 5\%$ （one-sided）→ 1.833 = t.ppf(0.95, 9)；two-sided 用 $\alpha/2$ 。
Rejection rules： $\mu > \mu_0$ → $T > t_{\alpha,n-1}$ ； $\mu < \mu_0$ → $T < -t_{\alpha,n-1}$ ； $\mu \ne \mu_0$ → $|T| > t_{\alpha/2,n-1}$ 。
CI： $\bar y \pm t_{\alpha/2,n-1}\, s/\sqrt n$ 。
Paired（ $t = \bar W/(S/\sqrt n)$ ，df = 對數 − 1）vs Independent（pooled $s_p$ ， $df = n + m - 2$ ）；分辨題目屬邊種 design。

1. 揀邊個 test？Parametric Test Flowchart

Slide 2 嘅 flowchart（Test for Means, 1 Factor）：

情況	條件	Test
1 Sample（同 target mean 比較）	Sample size $n < 30$	1 Sample t Test
1 Sample（同 target mean 比較）	Sample size $n > 30$	Z Test
2 Samples	Independent data	2 Sample t Test（equal variance → pooled SD；unequal variance → unpooled SD）
2 Samples	Paired data	Paired t Test
> 2 Samples		1-Way ANOVA

⭐ 考試重點

考題通常俾一個情境，要你講用邊個 test 同點解：幾多組？同一班人前後量（paired）定兩班唔相關嘅人（independent）？n 大定細？

2. Z-distribution vs t-distribution

Slide 3 嘅圖：Normal (Z) 同 t-distribution ( $df = 5, 10, 30$ ) 疊埋比較。t 都係對稱鐘形，但中間矮少少、兩邊 tails 厚啲；df 越大越貼近 Z， $df = 30$ 已經同 Z 幾乎重疊。

	Z-test	t-test
$\sigma$ （population SD）	已知（或 n 大，用 s 近似）	未知，用 sample SD s 估計
Sample size	$n > 30$	$n < 30$ （細 sample）
Distribution	$N(0, 1)$	t with $df = n - 1$
Critical value（one-sided $\alpha = 0.05$ ）	1.645	例： $df = 9$ → 1.833（較大）

💡 直覺理解

用 s 代替 $\sigma$ 會帶多一層不確定性（s 本身都係估出嚟），所以 t 嘅 tails 厚啲，critical value 大啲——要更極端嘅證據先 reject $H_0$ 。n 越大，s 越準，t 就越接近 Z（t-table 最底 ∞ 行 = Z 值：1.645、1.960、2.326、2.576）。

3. One-sample t-test：設定

Slide 4：「病人接受治療後，情況整體有冇改善？」

Slide 5：

Situation：只有一欄數據 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 。
Objective：檢查治療後腫瘤大細。Variable = 腫瘤大細嘅變化（+ve 代表腫瘤縮細）。
$H_0: \text{Population mean} \le 0$ （腫瘤增大或不變）； $H_1: \text{Population mean} > 0$ （腫瘤縮細）。
$H_0$ 同 $H_1$ 必須 mutually exclusive（唔重疊）同 collectively exhaustive（包晒所有可能）。
例：Y = the decrease in tumor size after treatment。問：有冇證據顯示治療有用？即 test $H_0:\mu\le 0$ against $H_1:\mu>0$ 。
因為量度有誤差，即使治療無效，sample mean 都唔會剛好 = 0。How large is large? → 要 t-test 去判斷。

⚠️ 留意

Slide 5 原文喺 $H_0/H_1$ 嘅括號入面有劃線修改（decrease / increases 對調過）。正確理解：Y = 縮細量（+ve 好）； $H_0: \mu \le 0$ （冇改善：腫瘤增大或不變）； $H_1: \mu > 0$ （有改善）。

4. One-sample t-test：Procedure

Slide 6：

T = \frac{\bar y}{s/\sqrt n} \quad(\text{當 } \mu_0 = 0)\qquad\text{一般：}\quad T = \frac{\bar y - \mu_0}{s/\sqrt n}

s^2 = \frac{(X_1-\bar X)^2 + \cdots + (X_n - \bar X)^2}{n-1}

需要一個 critical value（取決於 significance level $\alpha$ ）。如果 T 大過 critical value，就當 T 夠大、改善嘅證據夠強 → reject $H_0$ 。
傳統上 critical value 喺 t-table 查。

4.1 查 t-table（slides 7–8）

Slide 7 嘅 t-table（“Percentage Points $t_{\alpha,\nu}$ of the t Distribution”）：column = $\alpha$ （significance level，右尾面積），row = $\nu = n - 1$ （degree of freedom），格入面 = critical value（x 軸值）。

⭐ 查表步驟（slide 8）

Degree of freedom：one-sample 問題 $\nu = n - 1$ 。
Level of significance $\alpha$ ：5%（較低標準 reject $H_0$ ）或 1%（較高標準）。
例： $n = 10$ 、 $\alpha = 5\%$ → 行 $\nu = 9$ 、欄 .05 → critical value = 1.833。
Python：scipy.stats.t.ppf(0.95, 9) = 1.833（t-distribution with $\nu = 9$ 嘅 95% quantile）。

常用值（from table）：

$\nu$	$\alpha = .05$	$\alpha = .025$	$\alpha = .01$	$\alpha = .005$
4	2.132	2.776	3.747	4.604
6	1.943	2.447	3.143	3.707
8	1.860	2.306	2.896	3.355
9	1.833	2.262	2.821	3.250
∞	1.645	1.960	2.326	2.576

⚠️ 常見錯誤

呢個 table 嘅 $\alpha$ 係單邊（右尾）面積。Two-sided test $\alpha = 0.05$ 要查 .025 欄（例如 $\nu = 9$ → 2.262），唔係 .05 欄。

5. Worked example：腫瘤數據（slides 9–12）

Changes：4.7, −2.4, 2.1, 1.9, −1.4, 5.7, −0.2, 0.3, 3.9, 2.8。Mean = 1.74 > 0。有冇證據顯示改善係正？ $\alpha = 0.05$ 。

⭐ 手計 5 步

Hypotheses： $H_0:\mu\le 0$ ； $H_1:\mu>0$ （right-tailed； $H_1$ 係 $>$ → $H_0$ 係 $\le$ ）。
$\alpha = 0.05$ 。
Test statistic：
- $\bar y = 17.4/10 = 1.74$
- $\sum (y_i-\bar y)^2 = 63.224$ → $s^2 = 63.224/9 = 7.025$ → $s = 2.6505$
- $s/\sqrt n = 2.6505/3.1623 = 0.8381$
- $T = 1.74/0.8381 = \mathbf{2.076}$
Critical value： $\nu = 9$ 、 $\alpha = 0.05$ → 1.833。（p-value = 1 − t.cdf(2.076, 9) = 0.0339）
Decision：2.076 > 1.833（ $p = 0.0339 < 0.05$ ）→ reject $H_0$ 。結論：有證據顯示治療令腫瘤縮細（「腫瘤增大或不變」被 reject）。

import numpy as np
from scipy import stats
y = np.array([4.7, -2.4, 2.1, 1.9, -1.4, 5.7, -0.2, 0.3, 3.9, 2.8])
stats.ttest_1samp(y, 0, alternative='greater')     # H1 是 > → H0 是 <=
# TtestResult(statistic=2.0760103699294623, pvalue=0.03385076318199434, df=9)

# 另一種方法得到同一個 probability（slide 12）
T = y.mean() / (np.sqrt(y.var(ddof=1)) / np.sqrt(10))   # 2.0760（ddof=1 → 除 n-1）
p = 1 - stats.t.cdf(T, df=9)                              # 0.0339
crit = stats.t.ppf(0.95, 9)                               # 1.833

Slide 10 嘅解讀：p-value = 假設 $H_0$ 正確下，得到觀察值（或更極端）嘅機會。p-value 細過 $\alpha = 0.05$ → ‘ $H_0$ is rejected’。 $H_0: \text{mean} \le 0$ ；結論： $H_0$ 被 reject，即「腫瘤增大或不變」被 reject。

5.1 三個等價嘅 decision rule（slide 11）

⭐ 以下三句意思一樣

T > t.ppf(0.95, 9)        # test statistic 大過 critical value
t.cdf(T, 9) > 0.95        # T 嘅 cumulative probability 大過 95%
1 - t.cdf(T, 9) < 0.05    # p-value 細過 α

1 - t.cdf(T, 9) 就係 p-value。Decision rule：比較 p-value 同你揀嘅 $\alpha$ 。p-value 冇電腦好難計（所以以前用 t-table + critical value）。

5.2 Assumptions（slide 13）

n 個 unrelated 病人；佢哋嘅嚴重程度、性別、年齡等相近。
需要假設： $y_1, \dots, y_n$ 係 independent and identically-distributed (i.i.d.) normal random numbers。

🔗 跨科連繫

Normal assumption 可以用 Module 2c 嘅 QQ-plot 或 stats.normaltest 檢查。

6. Critical-value approach：三種 $H_1$ （slide 14）

⭐ Rejection rules（

T = \frac{\bar y - \mu_0}{s/\sqrt n}

）

Type	Hypotheses	Reject $H_0$ if	Python
One-sided (right)	$H_0:\mu\le\mu_0$ vs $H_1:\mu>\mu_0$	$T > t_{\alpha,n-1}$ = `t.ppf(1-α, n-1)`	`alternative='greater'`
One-sided (left)	$H_0:\mu\ge\mu_0$ vs $H_1:\mu<\mu_0$	$T < -t_{\alpha,n-1}$ = `t.ppf(α, n-1)`	`alternative='less'`
Two-sided	$H_0:\mu=\mu_0$ vs $H_1:\mu\ne\mu_0$	$\|T\| > t_{\alpha/2,n-1}$ = `t.ppf(1-α/2, n-1)`	`alternative='two-sided'`

Slide 15 two-sided 例：stats.ttest_1samp(y, 50, alternative='two-sided')： $H_0$ “equal to 50”， $H_1$ “does not equal to 50”。

7. Worked example：牛油有冇呃秤？（slides 16–18）

牛油廠聲稱每包 50 g。抽 10 包：45.3, 52.4, 47.9, 48.1, 51.4, 44.3, 50.2, 49.7, 46.1, 47.2。Mean = 48.26 < 50。有冇證據顯示牛油一般輕過聲稱？Y i.i.d. normal， $\alpha = 0.05$ 。

⭐ 手計 5 步

$H_0: \mu \ge 50$ ； $H_1: \mu < 50$ （left-tailed）。
$\alpha = 0.05$ 。
$\bar y = 48.26$ ， $s = 2.6505$ ， $SE = 0.8381$ ； $T = (48.26-50)/0.8381 = \mathbf{-2.076}$ 。
Critical value： $-t_{0.05,9} = -1.833$ ；p-value = t.cdf(−2.076, 9) = 0.0339。
−2.076 < −1.833（ $p = 0.0339 < 0.05$ ）→ reject $H_0$ ：有證據顯示牛油平均輕過 50 g。

y = np.array([45.3, 52.4, 47.9, 48.1, 51.4, 44.3, 50.2, 49.7, 46.1, 47.2])
stats.ttest_1samp(y, 50, alternative='less')
# TtestResult(statistic=-2.0760103699294645, pvalue=0.03385076318199426, df=9)

💡 有趣觀察

牛油數據其實 = 50 − 腫瘤數據（50 − 4.7 = 45.3、50 + 2.4 = 52.4 …），所以 s 一樣、|T| 一樣、p-value 一樣（slide 18 output 同 slide 10 一樣係 0.03385）——只係方向相反。

8. Confidence interval（slides 19–20）

CI 通常由 two-sided problem 嘅 decision rule 定義。Two-sided 唔 reject 嘅條件係 $|T| < t_{\alpha/2,n-1}$ ，代入 $T = (\bar y-\mu_0)/(s/\sqrt n)$ 整理：

\bar y - t_{\alpha/2,\,n-1}\frac{s}{\sqrt n} \;<\; \mu_0 \;<\; \bar y + t_{\alpha/2,\,n-1}\frac{s}{\sqrt n}

呢個就係 $\mu_0$ 嘅 confidence interval——即係「所有唔會被 two-sided test reject 嘅 $\mu_0$ 」嘅集合。

Meaning of 95% CI（slide 20）：95% chance that the random confidence interval covers the true value（統計學家用 simulation 驗證 95%，初學者可略）。

⭐ Worked example：牛油 95% CI

$t_{0.025,9} = 2.262$ ； $SE = 0.8381$
Margin = 2.262 × 0.8381 = 1.896
95% CI = 48.26 ± 1.896 = (46.36, 50.16)

注意：CI 包含 50！所以 two-sided test（ $H_1: \mu \ne 50$ ）喺 $\alpha = 0.05$ 唔會 reject（two-sided $p = 2 \times 0.0339 = 0.0677 > 0.05$ ）；但 one-sided（ $H_1: \mu < 50$ ）就 reject。one-sided test 將 $\alpha$ 全放喺一邊，所以較易 reject—— $H_1$ 嘅方向要喺睇數據之前定好。

9. Two-sample t-test：兩種 design

Slide 21：比較兩個 sample $X_1,\dots,X_n$ （Treatment A）同 $Y_1,\dots,Y_m$ （Treatment B）。Slide 22：比較兩種教學法——用孿生兄弟姊妹（related）定唔相關嘅學生（unrelated）？

⭐ 兩種 design（slide 23）

Design	描述	例子（slides 24, 29）	Test
Paired design	two subjects similar to each other are paired up, then the comparison of the two treatments are made on the pairs	5 對孿生子比較教學法；兩個歌手唱同樣 5 首歌；同一病人食藥 vs placebo	Paired t-test
Completely randomized design	unrelated subjects are randomly assigned to two treatments; the two samples are independent	10 個唔相關嘅學生（statistically less accurate but easy to implement）	Independent two-sample t-test（pooled variance）

10. Paired t-test

Slide 25 孿生子數據：

Twin	Method A (X)	Method B (Y)	Difference $W = X - Y$
1	118	113	5
2	144	99	45
3	102	105	−3
4	111	110	1
5	134	98	36

Slide 26：

Model assumptions： $W_1,\dots,W_n \sim N(\mu,\sigma^2)$ i.i.d.
Test： $H_0:\mu\le 0$ against $H_1:\mu>0$
Decision rule：reject $H_0$ if $t > t_{\alpha,n-1}$ ， $n =$ number of pairs。
p-value：reject $H_0$ if p-value < $\alpha$ 。

t = \frac{\bar W}{S/\sqrt n}, \qquad S = \text{sample s.d. of } W

💡 直覺理解

Paired t-test 其實就係對差值 W 做 one-sample t-test（ $\mu_0 = 0$ ）。配對抵消咗「人與人之間」嘅差異（例如孿生子天資相近），所以比 independent design 更準。

⭐ Worked example：Drug vs Placebo（slides 27–28，數值由本頁按公式計算）

x (Drug) = 120, 132, 100, 115, 143；y (Placebo) = 115, 95, 106, 108, 97。同一病人 → paired。 $\alpha = 0.05$ 。

$H_0$ ： $\mu_W \le 0$ ； $H_1$ ： $\mu_W > 0$ （藥物較好）。
$W = x - y = 5, 37, -6, 7, 46$ → $\bar W = 89/5 = 17.8$
$\sum (W-\bar W)^2 = 2010.8$ → $S^2 = 2010.8/4 = 502.7$ → $S = 22.421$
$t = 17.8/(22.421/\sqrt5) = 17.8/10.027 = \mathbf{1.775}$
Critical value： $df = 5 - 1 = 4$ ， $\alpha = 0.05$ → 2.132（slide 28 t-table 圈住嘅值）
1.775 < 2.132 → do not reject $H_0$ （ $p \approx 0.075$ ）。冇足夠證據顯示藥物比 placebo 好。

x = np.array([120, 132, 100, 115, 143])   # Drug
y = np.array([115, 95, 106, 108, 97])     # Placebo
stats.ttest_rel(x, y, alternative='greater')        # paired t-test：t ≈ 1.775, p ≈ 0.075
stats.ttest_1samp(x - y, 0, alternative='greater')  # 完全一樣嘅結果
stats.t.ppf(0.95, 4)                                 # critical value 2.132

🖼️ 圖片內容

Slide 27–28 只顯示數據同 t-table（圈住 $\nu = 4$ 、 $\alpha = .05$ 嘅 2.132），冇顯示 Python output；上面嘅 $t = 1.775$ 、 $p \approx 0.075$ 係按 slide 26 公式自行計算。Slide 22 係教學法比較嘅示意圖，冇額外文字。

孿生子數據（slide 25）同樣做法： $\bar W = 16.8$ ， $S = 22.05$ ， $t = 16.8/(22.05/\sqrt{5}) = 1.704 < 2.132$ → do not reject。

11. Independent two-sample t-test（pooled variance）

Slides 29–30：10 個唔相關學生／病人，5 個用 A、5 個用 B（ $X_1\text{–}X_5 = 120, 132, 100, 115, 143$ ； $Y_1\text{–}Y_5 = 115, 95, 106, 108, 97$ ）。

Slide 31 model assumptions： $X_1,\dots,X_n \sim N(\mu_X,\sigma^2)$ 同 $Y_1,\dots,Y_m \sim N(\mu_Y,\sigma^2)$ ，兩個 independent i.i.d. samples，same population variance $\sigma^2$ 。

S_p^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 + \sum_{j=1}^{m}(Y_j-\bar Y)^2}{n+m-2} = \frac{(n-1)S_X^2 + (m-1)S_Y^2}{n+m-2}

Pooled variance 唔同於將 X、Y 合埋一齊計嘅 variance。

💡 Slide 32：Between-group vs Within-group variation

一個只有 8 個員工嘅虛構城市：Sector A (Education) 薪金 12534, 13290, 10326, 11973；Sector B (Medical) 76245, 79034, 73453, 77024。Overall variance 好大，但每組內部 variance 好細。合併計 variance $\approx 1.19 \times 10^9$ ，但 pooled variance 只係 $\approx 3.46 \times 10^6$ 。Pooled variance 只量度組內差異，兩組之間嘅差異留俾分子 $\bar X - \bar Y$ 。同樣嘅 between-group / within-group 概念亦用喺 classification / clustering。

T = \frac{\bar X - \bar Y}{s_p\sqrt{\dfrac1n + \dfrac1m}}, \qquad s_p = \sqrt{\frac{(n-1)S_X^2 + (m-1)S_Y^2}{n+m-2}}, \qquad df = n+m-2

Slide 33：Test $H_0:\mu_X=\mu_Y$ against $H_1:\mu_X\ne\mu_Y$ ；reject $H_0$ if $|T| > t_{\alpha/2,\,n+m-2}$ 。

⭐ Worked example：薪金數據（slides 32–35，數值由本頁按公式計算）

$H_0$ ： $\mu_X = \mu_Y$ ； $H_1$ ： $\mu_X \ne \mu_Y$ （two-sided）， $\alpha = 0.05$ 。
$\bar X = 12030.75,\ \bar Y = 76439$
$S_X^2 = 1{,}582{,}826.25,\ S_Y^2 = 5{,}343{,}360.67$
$S_p^2 = \dfrac{3(1582826.25) + 3(5343360.67)}{4+4-2} = 3{,}463{,}093.5$ → $s_p = 1860.94$
$SE = 1860.94\sqrt{1/4+1/4} = 1860.94 \times 0.7071 = 1315.88$
$T = (12030.75 - 76439)/1315.88 = \mathbf{-48.95}$
$df = 4 + 4 - 2 = 6$ ；two-sided $\alpha = 0.05$ → 查 .025 欄 → 2.447（slide 35 圈住嘅值）
|−48.95| > 2.447 → reject $H_0$ ：兩個 sector 平均薪金有顯著分別。

x = np.array([12534, 13290, 10326, 11973])
y = np.array([76245, 79034, 73453, 77024])
stats.ttest_ind(x, y, equal_var=True)      # pooled-variance t-test：T ≈ -48.95, df = 6
stats.t.ppf(0.975, 6)                      # two-sided critical value 2.447
# 如果兩組 variance 唔相等 → Welch's t-test（flowchart 嘅 unpooled）：
stats.ttest_ind(x, y, equal_var=False)

⚠️ 常見錯誤

Slide 33 寫 “Reject $H_0$ if $T > t_{\alpha/2}$ ”，two-sided 應理解為 $|T| \gt t_{\alpha/2,n+m-2}$ （呢個例子 T 係負數）。
Paired df = 對數 − 1；Independent $df = n + m - 2$ 。用錯 df 就查錯表。
同一組數據（drug vs placebo）如果錯當 independent： $T = 2.168$ ， $df = 8$ ，two-sided critical 2.306 → 結論亦唔同。Design 決定 test，唔係數據樣子。

🔗 跨科連繫

Between-group / within-group variation 嘅比較係 1-way ANOVA（> 2 groups）同 Module 4 regression ANOVA F-test 嘅核心；亦同 COM6004 Cluster Analysis 嘅 SSE（within-cluster）vs between-cluster separation 同一個 idea。

自我測驗 Self-test

Q1.

n = 16

，

\bar y = 103

，

s = 8

。Test

H_0: \mu \le 100

H_1: \mu > 100

，

\alpha = 0.05

。

$T = (103 - 100)/(8/4) = 1.5$ ； $df = 15$ ， $t_{0.05,15} = 1.753$ 。1.5 < 1.753 → do not reject $H_0$ 。冇足夠證據顯示 $\mu > 100$ 。

Q2. 同上數據，求

\mu

嘅 95% CI。

$t_{0.025,15} = 2.131$ ；margin = 2.131 × 2 = 4.262；CI = (98.74, 107.26)。

Q3. stats.t.ppf(0.95, 9)、stats.t.ppf(0.975, 9)、stats.t.ppf(0.05, 9) 分別係幾多？各用喺咩 test？

1.833（right-tailed $\alpha = 0.05$ ）；2.262（two-sided $\alpha = 0.05$ ）；−1.833（left-tailed $\alpha = 0.05$ ）。

Q4.

T = 2.5

，

df = 9

，one-sided right。寫出三個等價嘅 decision rule 並判斷。

T > t.ppf(0.95, 9) ⇔ t.cdf(T, 9) > 0.95 ⇔ 1 − t.cdf(T, 9) < 0.05。2.5 > 1.833 → reject $H_0$ （ $p \approx 0.017$ ）。

Q5. 以下用邊個 test？(a) 同一班學生上堂前後測驗分數 (b) 隨機分 30 人做 A 組、30 人做 B 組比較減肥效果 (c) 比較 4 個品牌電池壽命 (d) 一批 15 個零件同規格 20 mm 比較

(a) Paired t-test；(b) Independent two-sample t-test；(c) 1-way ANOVA；(d) One-sample t-test（ $n < 30$ ）。

Q6. Paired 數據

W = 3, 5, -1, 4, 4

。Test

H_0: \mu \le 0

H_1: \mu > 0

，

\alpha = 0.05

。

$\bar W = 15/5 = 3$ ；偏差平方 0 + 4 + 16 + 1 + 1 = 22； $S^2 = 5.5$ ， $S = 2.345$ ； $t = 3/(2.345/\sqrt{5}) = 3/1.049 = 2.86$ ； $df = 4$ → 2.132。2.86 > 2.132 → reject $H_0$ 。

Q7. 兩組 independent：

n = m = 6

，

\bar X = 20,\ \bar Y = 15,\ S_X^2 = 9,\ S_Y^2 = 16

。Two-sided

\alpha = 0.05

。

$S_p^2 = (5 \cdot 9 + 5 \cdot 16)/10 = 12.5$ → $s_p = 3.536$ ； $SE = 3.536 \times \sqrt{1/6 + 1/6} = 3.536 \times 0.5774 = 2.041$ ； $T = 5/2.041 = 2.45$ ； $df = 10$ ， $t_{0.025,10} = 2.228$ 。2.45 > 2.228 → reject $H_0$ 。

Q8. 點解 pooled variance 唔等於將兩組數據合埋計 variance？用 slide 32 解釋。

合併 variance 包含組與組之間嘅差距（between-group），薪金例子兩組差 6 萬幾，令合併 variance 極大；pooled variance 只計每組圍繞自己 mean 嘅離散（within-group），反映純 noise。t-test 要嘅係 within-group noise 做分母。

Q9. 牛油例子 one-sided reject 但 95% CI (46.36, 50.16) 包含 50，矛盾嗎？

唔矛盾。95% CI 對應 two-sided $\alpha = 0.05$ test（ $p = 0.0677$ ，不 reject）；one-sided $\alpha = 0.05$ test 將 5% 全放左尾， $p = 0.0339$ → reject。對應 one-sided 嘅應該係 90% two-sided CI（或 one-sided upper bound）。

一頁總結 Cheat sheet

⭐ 考前速記

Flowchart：1 sample $n < 30$ → t； $n > 30$ → Z；2 samples independent → 2-sample t（pooled / unpooled）；paired → paired t；> 2 → ANOVA。
t vs Z： $\sigma$ 未知用 s → t，tails 較厚； $df \to \infty$ 時 $t \to Z$ 。
One-sample： $T=\frac{\bar y-\mu_0}{s/\sqrt n}$ ， $df = n - 1$ ， $s^2=\frac{\sum(y-\bar y)^2}{n-1}$ （ddof=1）。
Table：row = df，column = $\alpha$ （右尾）； $n = 10$ 、 $\alpha = .05$ → 1.833 = t.ppf(0.95, 9)；two-sided 查 $\alpha/2$ 。
Right： $T > t_{\alpha}$ ｜Left： $T < -t_\alpha$ ｜Two： $|T| > t_{\alpha/2}$ 。
p-value = 1 − t.cdf(T, df)（right-tailed）； $p < \alpha$ → reject。
腫瘤： $T = 2.076$ ， $p = 0.0339$ → reject；牛油： $T = -2.076$ ， $p = 0.0339$ → reject。
CI： $\bar y \pm t_{\alpha/2,n-1}\,s/\sqrt n$ ；牛油 95% CI (46.36, 50.16)。
Assumption：i.i.d. normal。
Paired： $W = X - Y$ ， $t=\bar W/(S/\sqrt n)$ ， $df = \text{pairs} - 1$ ；drug/placebo $t = 1.775 < 2.132$ → not reject。
Independent： $s_p^2=\frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}$ ， $T=\frac{\bar X-\bar Y}{s_p\sqrt{1/n+1/m}}$ ， $df = n + m - 2$ ；薪金 $T = -48.95$ ， $|T| > 2.447$ → reject。
Python：ttest_1samp、ttest_rel、ttest_ind(equal_var=True)、alternative='greater'/'less'/'two-sided'。